Справки нет), и мне пришло письмо о задолженности о погашении затраченных ими денег, что будет если я не выплачу эту сумму?

Екатерина, если Вы отсутствовали на работе без уважительных причин в течение всего рабочего дня,либо отсутствовали на рабочем месте без уважительных причин более четырех часов подряд в течение рабочего дня, то действительно можете быть уволены за прогул. Что касается требования работодателя компенсировать ему какие-то затраты, то работодатель действительно вправе обратиться в суд с требованием о возмещении причиненного ему ущерба в течение одного года со дня обнаружения причиненного ущерба (это предусмотрено статьей 392 Трудового кодекса РФ). Работодатель вправе поступить так, если Вы не возместите ущерб добровольно. Насколько обоснованы требования работодателя, я пояснить не могу, так как не знаю, какие именно затраты он требует компенсировать.